После установки форума 4.2.8 при запросе его по адресу с https происходит блокировка браузером активного смешанного содержимого.
Исходный код страницы показал, что подгрузка стилей и скриптов происходит по протоколу http  («http://www.zzz.ru/forum_test/uploads/css_built_1.... » , «http://www.zzz.ru/forum_test/uploads/javascript_global/root_library.js... »").

Подскажите, пожалуйста, почему подставляется http и как с этим бороться?

Подгрузка скриптов идет из вне ? Или это лежит на самом форуме ? 
Был изменен файл "conf_global.php" ? Именно эта строчка:

'base_url' => 'https://site.ru/'

Активна ли эта функция ? 

Нужно перестроит кэши в админке.

Устанавливался совершенно новый форум (не апгрейд).  Кэш перестроен, галочка "отдавать изображения..." поставлена. В conf_global.php  стоит http, но я так понимаю, что здесь не обязательно менять.  Ситуация не поменялась.

Я бы проверил права к папкам

6 минут назад, wer сказал:

conf_global.php  стоит http, но я так понимаю, что здесь не обязательно менять.

Здесь то как раз и обязательно

System Check говорит, что папки applications, datastore, plugins, uploads, uploads/logs is writable.

если в  conf_global.php писать https, то зелёный значёк появляется, но при этом пишет "Неверное перенаправление на странице"

9 минут назад, wer сказал:

если в  conf_global.php писать https, то зелёный значёк появляется, но при этом пишет "Неверное перенаправление на странице"

если не писать тогда будет ситуация как у вас, ибо движок строит все свои ссылки относительно base_url. А то что у вас проблемы с неверными перенаправлениями так это вопросы к настройкам хостинга а не к IPS.

Впрочем ваше право мучаться и пытаться обмануть природу 

у меня на этом же хостинге лежит в соседней папке форум 3.4.6 (собственно его требуется обновить и пока пытаюсь проверить тестовую установку), там в conf_global.php прописано https и он прекрасно работает.

Как вы это можете объяснить?

2 минуты назад, wer сказал:

лежит в соседней папке форум 3.4.6

Сразу несколько ключевых слов  "в соседней папке" и "3.4.6" не находите?

Каким образом организовано (если организовано) перенаправление http>>https?

у них разные базы

6 минут назад, MIXOH сказал:

Каким образом организовано (если организовано) перенаправление http>>https?

выясню