Мой форум работает с версии 3.4.6. Сейчас я обновил его до версии 4.7.6. В директории форума лежат файлы от старых версий. Как удалить файлы старых версий, которые не используются уже в актуальной?

Для обновления нужна только база данных. Файлы (кроме папки uploads) в обновлении не участвуют и их можно удалить до начала обновления. Создайте резервную копию сайта и базы перед обновлением.